Los matemáticos Javier Cilleruelo, de la Universidad Autónoma de Madrid (UAM) y del Instituto de Ciencias Matemáticas, Carlos Vinuesa, también de la UAM y de la Universidad de Cambridge, Reino Unido, e Imre Ruzsa, del Instituto Alfréd Rényi, Budapest, han publicado en la revista Advances in Mathematics la solución a un problema planteado hace casi 80 años por el matemático húngaro Simon Sidon.
Sidon planteó, en 1931, al entonces estudiante Paul Erdös un problema de sencilla formulación pero que se resistió muchos años a su resolución. El problema era el siguiente: ¿Cuál es el mayor tamaño de un conjunto de números, todos ellos menores que una cantidad dada, en el que todas las sumas de dos elementos del conjunto dan resultados distintos? Un conjunto de números que cumpla esa condición se llama conjunto de Sidon, por ejemplo 1, 2, 5, 10, 16, 23, 33, 35. No lo es, sin embargo, 1, 3, 7, 10, 17, 23, 28, 35, porque aparecen sumas repetidas (1+23=7+17). El problema fue resuelto por Erdös a mediados del siglo XX, pero ahí no acabó la historia.
Quedaba planteado aún una versión más complicada del problema. ¿Cuál es el tamaño máximo de un conjunto de este tipo si se permite que cada suma se repita, como mucho, N veces? Este problema se reduce al original cuando N vale 1. Si hacemos que N pueda ser mayor que 1, (2, 3, …), tendremos lo que se denomina el problema de los Conjuntos Generalizados de Sidon, y es un clásico de la Teoría Combinatoria.
Es a este problema al que los citados matemáticos han encontrado solución. Para ello, han aplicado de manera conjunta técnicas probabilísticas, combinatorias, analíticas y algebraicas, para obtener un resultado que Cilleruelo considera “un auténtico encaje de bolillos en que se han engarzado muchas piezas distintas“.
Ver:
- Generalized Sidon sets, J. Cilleruelo et al., Advances in Mathematics, Volume 225, Issue 5, 1 December 2010, Pages 2786-2807, doi:10.1016/j.aim.2010.05.010
- Advances in Mathematics
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